Διαλύουμε το αλεύρι σε 200 γρ. κρύο γάλα.
Προσθέτουμε τα, ελαφρώς, χτυπημένα αυγά και ανακατεύουμε.
Τέλος, προσθέτουμε το υπόλοιπο γάλα, και, μετά, φέρουμε όλο το μείγμα σε κατσαρόλα, και ανάβουμε το μάτι.
Κάτω από συνεχές ανακάτεμα, και ύστερα από 5 λεπτά, περίπου, χαμηλώνοντας τη φωτιά στο μέτριο, η μπεσαμέλ θα αρχίσει να πήζει.
Αποσύρουμε από τη φωτιά, αλατοπιπερώνουμε και προσθέτουμε το βούτυρο.
Απλώνουμε στο ταψί πάνω από τον κιμά, πασπαλίζουμε με λίγη τριμμένη φρυγανιά, και ψήνουμε για μία ώρα στους 200 °C.